Factorización de polinomios

Factorización de polinomios

Recordando que los factores son los términos de una multiplicación, por factorización de polinomios se entiende expresar el polinomio como un producto de factores.

Como los números se pueden expresar como producto de dos o más factores

Ej. 55 = 5 x 11; 24 = 2 x 3 x 4; 28 = 2 x 7

del mismo modo factorizar un polinomio significa descomponerlo en el producto de dos o más factores

Ej. x² – 4 = (x + 2) (x – 2)

x² + 2x +1 = (x + 1)²

x² + 5x +6 = (x + 2) (x + 3)

para factorizar un polinomio hay que identificar los factores comunes en el polinomio,

cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común se puede factorizar el polinomio en el producto de dos factores, unos de los cuales es el factor común, mientras que el otro termino se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre el factor común.

Hay diferentes tipos de factores comunes como

  • Factor común monomio
  • Factor común polinomio
  • Factor común por agrupación de términos

Factor común monomio: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede factorizar el polinomio en el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. El otro factor se obtiene dividendo cada término del polinomio entre el factor común.

Ej. P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x

Primero: se halla el factor común calculando el máximo común divisor de los coeficientes

en este caso:  MCD (40, 24, 8) = 8

y se multiplica por la menor potencia de x, en este caso = x

entonces el factor común de este ejemplo es = 8 x

Segundo: se divide cada término del polinomio entre el factor común, recordando que para dividir potencias de igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes

40 x⁵ : 8 x = 5 x⁴

 24 x³ : 8 x = 3 x²

-8 x : 8 x= -1

dando como resultado este polinomio  5 x⁴ + 3 x² -1

El polinomio del ejemplo P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x

es igual al producto del factor común  8 x

por el polinomio obtenido de la división  5 x⁴ + 3 x² -1

P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x = 8x (5 x⁴ + 3 x² -1)

Ejercicios:

1) P(x)= 12x + 3

aquí el factor común es = 3 entonces

P(x)=12x +3 = 3 (4x+1)

2) P(x) = x ⁶ – 6x ³ – 2x ²

aquí el factor común es = x ² entonces

P(x) = x ⁶ – 6x ³ – 2x ² = x ² (x⁴ – 6x – 2)

3) P(x) = x²⁰ – x¹⁶ + x¹⁰ + x²⁰

Primero se ordena en la forma   2x²⁰ – x¹⁶ + x¹⁰

el factor común es = x¹⁰ entonces, después de dividir, se obtiene que

P(x) = 2x²⁰ – x¹⁶ + x¹⁰ = x¹⁰ (2x¹⁰ – x⁶ +1)

Factor común polinomio: Cuando el factor común es un polinomio se factoriza de la siguiente manera

Ejemplo:  a(x+y) +b(x+y) donde entonces el factor común es = (x+y) se dividen los dos términos entre (x+y)

factor común polinomio

factor común polinomio

Factor común por agrupación de términos: Cuando no se presenta un factor común a todos los términos, pero se presenta un factor común a dos o más términos se procede de la siguiente forma.

En el polinomio ax + bx + ay + by ,

los primeros dos términos tienen como factor común “x”, mientras que en los otros el factor común es “y” entonces se puede escribir el polinomio de esta forma

x(a+b) + y(a+b) para evidenciar que existe un factor común que es (a+b) y proceder así

Factor común por agrupación de términos

Factor común por agrupación de términos

Factorización de cuadrados perfectos

Un trinomio como x²+ 2ax + a²  es un cuadrado perfecto porque dos de sus términos son cuadrados perfectos (x² ; a²) y el tercer término es igual al doble producto de a por b  (2ax).

x²+ 2ax + a² = (x+a)²

Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando tiene una de estas dos formas:

  • a² + 2(a)·(b) + b² = (a + b)²
  • a² – 2(a)·(b) + b² = (a – b)²

 

Ejemplo: x² +10x+25

Este trinomio es un cuadrado perfecto porque dos de sus términos lo son

x² es el cuadrado de x; y 25 es el cuadrado de 5;

el tercer término es igual al doble producto a por b:

10 x = 2· (5) · (x) y el trinomio  se factoriza: (x+5)²

x² +10x+25 = (x+5)²

Ejercicios:

  1. x² – 14x + 49 = (x)² -2(7)·(x) + (7)² =   (x – 7)²
  2. y² + 8y +16 = (y)² +2(4)·(y) +(4)² = (y + 4)²
  3. x¹⁰ – 2 x⁵ +1= (x⁵)² – 2(1)·(x⁵) + (1)² = ( x⁵ -1)²
  4. 25p⁴ + 30 p²q + 9 q² = (5p²)² +2(5p²)·(3q) + (3q)² = (5p² +3q)²

 

Factorización de un trinomio de la forma x² + mx + n

Cuando en el producto de dos binomios hay un término común como en el ejemplo:

(x+a)(x+b) donde el término común es x, su otra forma es: x² + (a+b)x + ab

(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab

 

Entonces, por ejemplo, un trinomio como x² +8x +15 se podrá factorizar de la forma (x+a)(x+b) si se consiguen dos términos a y b donde

a+b  sea = 8  y

a · b sea =15

estos dos términos son 3 y 5 porque (3+5)=8  y  3·5=15

x² +8x +15 = (x+3) · (x+5)

Ejercicios:

  • x² -10x +24

a+b = -10

a · b = 24

a = -4 ; b= -6

x² -10x +24 = (x-4) · (x-6)

  • x² – 4x -21

a+b = 3

a · b = -21

x² – 4x -21 = (x+3) · (x-7)

  • x⁶ – 4x³ + 3

a+b = – 4

a · b = +3

x⁶ – 4x³ + 3= (x³ – 1) ·  (x³ – 3)

 

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

La diferencia de cuadrados se factoriza aplicando el producto notable de la suma por la diferencia:

– b² = (a + b)  ·  (a – b)

Ejercicios:

  • x⁶ – 81 = (x³ + 9) (x³ – 9)
  • 4y⁴ – 16y¹⁶ = (2y² + y⁸) · (2y² – y⁸)
  • (x+3)² – (y+3)² = [(x+3)+(y+3)] · [(x+3) – (y+3)] = (x+y +6) · (x-y)
  • (a – 5)² – 16b² = [(a – 5)+ 4b] · [(a – 5) – 4b] = (a+ 4b – 5) (a – 4b – 5)

 

Adición y sustracción de cubos

La suma de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la suma de las bases de los cubos y el segundo es un trinomio  igual a la suma de los cuadrados de las bases menos el producto de las dos bases:

+ a³ = (x + a) (x² + a² – ax)

Ejemplo:

x³ + 8

las bases son x y 2 entonces

x³ + 8 = (x +2) · (x² + 4 – 2x)

Ejercicios:

  • x⁹+ 1; las bases son x³ y 1; x⁹ + 1 = (x³ + 1)(x⁶ + 1 – x³)
  • 27y³ + 8x³; las bases son 3y y 2x; 27y³ + 8x³ = (3y + 2x) · (9y ² + 4x² – 6xy)

La diferencia de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la diferencia de las bases de los cubos y el segundo es un trinomio  igual a la suma de los cuadrados de las bases más el producto de las dos bases:

x³ – a³ = (x – a) (x² + a² + ax)

Ejercicios:

8x¹² – 1; las bases son 2x⁴ y 1; 8x¹² – 1 = (2x⁴ – 1) · (4x⁸ + 2x⁴+1)

x³ – (x -1)³ ; las bases son x y (x-1);

x³ – (x -1)³ = [x-(x-1)] · [x² +(x-1)²+x(x-1)]= +1· (3x² – x + 1)= 3x² – 3x + 1

 

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