Teoremas de Euclides y Pitágoras

Demostración de tres de los teoremas más utilizados en matemática:

el primer Teorema de Euclides conocido como “teorema de los catetos

el segundo Teorema de Euclides conocido como “teorema de la altura” y

el Teorema de Pitágoras.

Hay diferentes formas de demostrar estos teoremas,y como aquí se demostrará el Teorema de Pitágoras a partir de la demostración del primer Teorema de Euclides, hay que recordar que Pitágoras no lo demostró de esta forma porque Pitágoras nació dos siglos antes que Euclides.

Primer Teorema de Euclides conocido como “teorema de los catetos

Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre un cateto es equivalente al rectángulo que tiene por medidas la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y la misma hipotenusa.

Se demuestra que C = R en este caso AB²= BH x BC , donde AB² es el área del cuadrado construido sobre el cateto AB; BH es la proyección de AB sobre la hipotenusa BC; BC es la hipotenusa y recordando que BC’ = BC

enunciado del primer Teorema de Euclides

enunciado del primer Teorema de Euclides

Para esta demostración se utiliza el paralelogramo P (ABFG) que se construye sobre el cateto AB, con la prolongación del altura AH (altura del triángulo rectángulo relativa a la hipotenusa) y la prolongación de BC’ para definir los otros dos vértices del paralelogramo en la intersección de la prolongación del lado DE del cuadrado construido sobre el cateto AB.

primer teorema de Euclides

primer teorema de Euclides

 

  1. Se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al cuadrado ABDE
  2. se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al rectángulo BC’KH

entonces si C = P = R, por la propiedad transitiva C = R como se quería demostrar en el teorema.

Se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al cuadrado ABDE: considerando como base del paralelogramo el lado AB (que es también un lado del cuadrado), la altura del paralelogramo, relativa a esta base es AE(otro lado del cuadrado). (Hay que recordar que cualquier lado de un polígono puede ser considerado como base, pero hay que conseguir la altura correspondiente a esta base para poder aplicar la fórmula de la área del paralelogramo: A= b x h ).

Entonces AB²= AB x AE y como AB =AE se puede escribir AB²= AB x AB que es AB²= AB² demostrando así que el cuadrado y el paralelogramo son equivalentes C = P.

Ahora se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al rectángulo BC’KH :   La primera consideración es que las dos figuras tienen la misma altura que es BH; después, consideramos los triángulos ABC y BDF y comprobamos que son iguales porque tienen un lado igual y los dos ángulos sobre este lado son iguales ( criterio de la congruencia en triángulos ALA): el lado igual es AB = BD, dos ángulos iguales son los ángulos rectos B(A)C = F(D)B, los otros ángulos iguales son A(B)C = D(B)F porque los dos son complementarios al mismo ángulo F(B)A, quiere decir que

A(B)C + F(B)A = 90º= D(B)F+A(B)C por eso A(B)C=D(B)F

con esto se demuestra que los triángulos ABC y BDF son iguales, y tienen las hipotenusas iguales BC=BF.

Como BC=BC’, resulta que BC’=BF entonces el paralelogramo ABFG es equivalente al rectángulo BC’KH porque tienen la misma altura y la misma base.

Para finalizar: si el cuadrado C es equivalente al paralelogramo P , y este es equivalente al rectángulo R, por la propiedad transitiva de la equivalencia R,quedando demostrado que el

cateto² = (su proyección) x hipotenusa”.

Nota: no es convencional la forma de indicar un ángulo con paréntesis en el vértice B(A)C,pero no puedo utilizar la forma correcta con acento circunflejo arriba del vértice BÂC, porque no todas las letras lo tienen.

Teorema de Pitágoras

Con la demostración del primer Teorema de Euclides resulta sencillo explicar el Teorema de Pitágoras

Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

C₃ = C₁ + C

Se construyen los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa.

Se traza AH, la altura relativa a la hipotenusa y se prolonga para dividir el cuadrado C en dos rectángulos R y R.

Como R₁ + R₂ = C₃ = C₁ + C R₁ + R₂ = C₁ + C porque se observa que

C₁ es equivalente a R₁ por el primer Teorema de Euclides y

Ces equivalente a R₂ siempre por el primer Teorema de Euclides

sabiendo que C₁ es el cuadrado de un cateto y que R₁ tiene como lados la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y la hipotenusa,que es el enunciado del primer Teorema de Euclides (teorema de los catetos); lo mismo dígase de C₂.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Segundo Teorema de Euclides (teorema de la altura)

Enunciado: en cada triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la altura relativa a la hipotenusa es igual al rectángulo que tiene como medidas las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

AH² = BH x HC

h² = a’ x a”

segundo teorema de Euclides

segundo teorema de Euclides

Para la demostración se construye el cuadrado sobre la altura AH (C₂), el cuadrado sobre el cateto AB (C₁) y el rectángulo BC’LH (como en el primer teorema de Euclides) siendo BH la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa con BC’=BC que es la medida de la hipotenusa.

Se construye sobre BH el cuadrado de lado BH (C₃),dividiendo así el rectangulo BC’LH en el cuadrado BHKH’ y en rectángulo H’C’KL (R).

Por el primer teorema de Euclides sabemos que C₁ = C₃ + R y por el teorema de Pitágoras sabemos que C₁ = C₂ + C₃ por la propiedad transitiva de la equivalencia entonces tendremos que

C₃+ R = C₁ = C₂ + C₃   C₃ + R = C₂ + C₃

Restando C₃ en cada lado tendremos que R = C₂ que es lo que se quería demostrar

AH² = BH x HC

h² = a’ x a”

el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

demostración segundo teorema de Euclides

demostración segundo teorema de Euclides

 

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2 respuestas a Teoremas de Euclides y Pitágoras

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