Transformación lineal

Transformación lineal “Definición”

Es una aplicación (función) entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar, quiere decir que conserva las dos operaciones fundamentales que definen la estructura del espacio vectorial:

Sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T:V W tal que para cualquier vector u y v de V y cualquier escalar k :

T(u+v) = T(u)+T(v)

T(ku) = k T(u)

Estas funciones de álgebra lineal se aplican en física, economía e informática, entre otros.

-Transformación geométrica “Definición”

Es una aplicación que permite que cada punto de un plano tenga un punto correspondiente en el mismo plano: permite crear una nueva figura a partir de una previamente dada, que será el homólogo del original.

La transformación puede ser directa cuando el homólogo conserva el mismo sentido del original en el plano cartesiano e inversa cuando el homólogo tiene un sentido inverso al original.

Otra clasificación de las transformaciones geométricas está basada en la forma del homólogo respecto al original. Serán : isométricas, cuando el homologo conserva las dimensiones y ángulos del original con movimiento como la rotación y la translación; isomórficas cuando el homólogo conserva la forma y los ángulos; y anamórficas cuando cambia totalmente la forma original.

-Definición: Monomorfismo; Isomorfismo; Epimorfismo

Son clasificaciones de las aplicaciones lineales, se habla de:

  • Monomorfismo si T:V W es inyectiva o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

  • Isomorfismo siT:V Wes biyectiva ( inyectiva y sobreyectiva) o sea todos los elementos del conjunto de salida tienen un imagen distinta en el conjunto de llegada y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento de el de salida.

  • EpimorfismosiT:V Wes sobreyectivacuando cada elemento del conjunto de llegada es imagen, como minimo, de un elemento del conjunto de salida.

-Utilidad de la transformación lineal

Esta aplicación es fundamental en álgebra lineal y de consecuencia en matemática en general. Se utiliza

en geometría para definir las homotecias que son trasformaciones geométricas que a partir de un punto fijo multiplica todas las distancias por un mismo factor (amplificaciones)

dicho sencillamente es una figura que cambia de tamaño, pero sus ángulos y proporciones no cambian. En economía y finanzas en los estudios de gráficos y tendencias en el andamiento del mercado, por ejemplo.

En informática, especialmente gráfica para el estudio de diferentes modelos.

-Realice los ejercicios demostrativos de transformación lineal

Buscando en álgebra lineal se consiguen muchos ejercicios resueltos

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